Quatérnios

Se alguém sair de uma casa vazia, o que se pode afirmar? A maioria das pessoas diria que nada se pode afirmar, pois isto é impossível. Já um matemático diria que, se alguém entrar, a casa fica vazia novamente. Uma piada semelhante se pode fazer sobre a raiz quadrada de um número negativo. Quanto vale a raiz quadrada de -1, por exemplo? Não sei, mas elevada ao quadrado resulta -1. Conhecida como unidade imaginária, a raiz quadrada de -1 é representada usualmente por i e satisfaz i²=-1. A unidade imaginária foi usada para criar os números complexos, que são escritos como a+bi, sendo a e b números reais vulgares. Os números complexos generalizam os reais, na medida em que, se fizermos b=0, recuperamos os reais.

No século XIX, a generalização dos complexos era uma questão aberta, e o irlandês William R. Hamilton foi quem a conseguiu, em  1843. Os números que generalizam os complexos foram chamados quatérnios, e são representados por a+bi+cj+dk. Os quatérnios possuem três unidades imaginárias, ou seja, i²=j²=k²=-1. Em seguida à descoberta dos quatérnios, foram obtidos os octônios, que têm sete unidades imaginárias. Mas, por que as unidades imaginárias são apenas um, três ou sete, e não qualquer outro número inteiro positivo? Outros números hiper-complexos são possíveis, mas contém uma imperfeição. Esta imperfeição é: se a·b=0, pode ser que nem a nem b sejam zero. Ou seja, existem «divisores de zero». Os únicos números complexos tais que, para a·b=0 então a=0 ou b=0, são os complexos, os quatérnios e os octônios.

Existem outras diferenças entre estes números, além do número de unidades imaginárias. Para o caso dos quatérnios, as unidades imaginárias são anti-comutativas, ou seja i·j=-j·i, por exemplo. Isto significa que, se multiplicamos dois quatérnios, a ordem da multiplicação muda o resultado, ou seja p·q é diferente de q·p se p e q forem quatérnios. Os octônios, além de não-comutativos, são não-associativos, ou seja a·(b·c) não é o mesmo que (a·b)·c para a, b e c octônios.

Resumidamente, os números hiper-complexos podem ter diversas anomalias, como perda da comutatividade, associatividade e até divisores de zero. Para a física, os quatérnios são os que mostraram-se mais úteis, pelo menos até o momento. Na próxima postagem, falaremos da construção da mecânica quântica quaterniônica, o objeto do projeto de pesquisa que está colocado para financiamento coletivo no site kickante.

Quatérnios e mecânica quântica

Usarei o verbo em primeira pessoa para falar de meu próprio trabalho em física teórica. Já pretendia fazê-lo, mas as circunstâncias pesam neste momento. Pretendia fazê-lo, como venho fazendo neste blogue, como uma maneira de organizar meu próprio pensamento e ser útil a algum transeunte da internet. Porém, agora farei isto como divulgação para uma campanha de crowdfunding para minha linha de pesquisa. Como retornei recentemente ao Brasil e ainda não tenho financiamento, apelo à vaquinha virtual para seguir trabalhando enquanto a bolsa não vem.

Pois bem, já falei anteriormente das mútuas influências entre física e matemática, que são patentes na linha de pesquisa que persigo. Nestas próximas postagens, pretendo apresentar um exemplo onde a matemática influencia a física: a mecânica quântica quaterniônica. O nome denota a junção de uma teoria física, a mecânica quântica, adjetivada pela aplicação de um objeto matemático: os quatérnios.

Comecemos pela física. A mecânica quântica é uma teoria física surgida no início do século XX para explicar fenômenos sub-microscópicos. Albert Einstein, Paul Dirac, Werner Heisenberg e Richard Feynman são alguns de seus desenvolvedores mais conhecidos. O formalismo quântico explica fenômenos como a estrutura eletrônica dos átomos e o comportamento da luz. A mecânica quântica permite que estes fenômenos apresentem simultaneamente carácteres ondulatórios e corpusculares. Classicamente, nos fenômenos visíveis a olho nu, ondas e partículas parecem incompatíveis, pois a onda necessita de um meio contínuo para manifestar-se, seja ele sólido, líquido ou gasoso. Este meio é formado por partículas, moléculas ou átomos. Parece estranho que uma única partícula seja uma onda, mas a mecânica quântica consegue descrever objetos assim.

A mecânica quântica consegue fazer isto pois se vale de um objeto matemático bastante curioso: o número complexo. Este tipo de número é bastante adequado para descrever oscilações, tanto que as funções trigonométricas que descrevem as oscilações simples, os senos e cossenos, possuem expressões em termos dos números complexos. E é aí que podemos introduzir uma matematicazinha nova. Existem números complexos mais complexos que os originais, ou hiper-complexos. Se substituirmos os complexos pelos hiper-complexos, o que ocorre com a mecânica quântica? A teoria permanece útil para descrever a realidade ou torna-se uma mera abstração matemática? Esta questão eu pretendo abordar em futuras postagens, explicar um pouco desta alteração e suas consequências e também apresentar minhas próprias contribuições a este assunto.

O caso Hicheur

Hoje é provavelmente um dos últimos dias da sra. Rousseff como presidente do Brasil. Dela e de seu ministério, para o bem ou para o mal. Gostemos ou não, a destituição é realidade factual, e cabe aos intelectuais entender as causas do ocaso prematuro deste governo.

Sobre este curto e tumultuado mandato, não deveria-se esquecer o caso do físico Adlène Hicheur. Condenado na França a cinco anos de reclusão por envolvimento com terroristas, o Dr. Hicheur trabalhava como professor visitante da UFRJ após a sua libertação. Seu envolvimento resumiu-se à troca de correspondência eletrônica com supostos integrantes da organização Al-Qaeda, e foi suficiente para condená-lo. Cientistas franceses e suíços criticaram o veredicto, e inutilmente moveram uma campanha para revogar sua prisão. A revista brasileira Época descobriu o caso e, no dia 8 de janeiro de 2016, publicou-o em primeira página sob o título "Um terrorista no Brasil". É bastante evidente o apelo sensacionalista da matéria, um bom exemplo de mau jornalismo. 

Em todo caso, algumas pessoas deixaram-se influenciar pela matéria; dentre elas, o sr. Aloizio Mercadante, ministro da educação. Ele, declarou:  "Uma pessoa que teve aqueles e-mails que foram publicados e foi condenada por prática de terrorismo não nos interessa para ser professor no Brasil. Não temos nenhum interesse nesse tipo de pessoa"

Políticos não costumam dar declarações a troco de nada. O baixo nível intelectual da matéria tampouco  deve ter sido convincente ao sr. ministro. O mais provável é que o sr. Mercadante tentou ganhar alguma notoriedade com o caso. Foi um ataque covarde, após o qual o Dr. Adléne, sem qualquer chance de resposta, decidiu abandonar o país.

A sra. Maria do Rosário, ministra da secretaria de direitos humanos, ficou muda no episódio, como se o linchamento pela imprensa e pelo ministro fosse algo aceitável. Nem ela nem a sra. Rousseff, ex-presa política torturada, comoveram-se com o caso. Qual a relação do caso Hicheur com a derrocada de Dilma? Talvez nenhuma, mas exemplifica a relação dos governantes brasileiros com os supostos princípios que fundamentam sua atividade política.