Quatérnios

Se alguém sair de uma casa vazia, o que se pode afirmar? A maioria das pessoas diria que nada se pode afirmar, pois isto é impossível. Já um matemático diria que, se alguém entrar, a casa fica vazia novamente. Uma piada semelhante se pode fazer sobre a raiz quadrada de um número negativo. Quanto vale a raiz quadrada de -1, por exemplo? Não sei, mas elevada ao quadrado resulta -1. Conhecida como unidade imaginária, a raiz quadrada de -1 é representada usualmente por i e satisfaz i²=-1. A unidade imaginária foi usada para criar os números complexos, que são escritos como a+bi, sendo a e b números reais vulgares. Os números complexos generalizam os reais, na medida em que, se fizermos b=0, recuperamos os reais.

No século XIX, a generalização dos complexos era uma questão aberta, e o irlandês William R. Hamilton foi quem a conseguiu, em  1843. Os números que generalizam os complexos foram chamados quatérnios, e são representados por a+bi+cj+dk. Os quatérnios possuem três unidades imaginárias, ou seja, i²=j²=k²=-1. Em seguida à descoberta dos quatérnios, foram obtidos os octônios, que têm sete unidades imaginárias. Mas, por que as unidades imaginárias são apenas um, três ou sete, e não qualquer outro número inteiro positivo? Outros números hiper-complexos são possíveis, mas contém uma imperfeição. Esta imperfeição é: se a·b=0, pode ser que nem a nem b sejam zero. Ou seja, existem «divisores de zero». Os únicos números complexos tais que, para a·b=0 então a=0 ou b=0, são os complexos, os quatérnios e os octônios.

Existem outras diferenças entre estes números, além do número de unidades imaginárias. Para o caso dos quatérnios, as unidades imaginárias são anti-comutativas, ou seja i·j=-j·i, por exemplo. Isto significa que, se multiplicamos dois quatérnios, a ordem da multiplicação muda o resultado, ou seja p·q é diferente de q·p se p e q forem quatérnios. Os octônios, além de não-comutativos, são não-associativos, ou seja a·(b·c) não é o mesmo que (a·b)·c para a, b e c octônios.

Resumidamente, os números hiper-complexos podem ter diversas anomalias, como perda da comutatividade, associatividade e até divisores de zero. Para a física, os quatérnios são os que mostraram-se mais úteis, pelo menos até o momento. Na próxima postagem, falaremos da construção da mecânica quântica quaterniônica, o objeto do projeto de pesquisa que está colocado para financiamento coletivo no site kickante.