Quatérnios

Se alguém sair de uma casa vazia, o que se pode afirmar? A maioria das pessoas diria que nada se pode afirmar, pois isto é impossível. Já um matemático diria que, se alguém entrar, a casa fica vazia novamente. Uma piada semelhante se pode fazer sobre a raiz quadrada de um número negativo. Quanto vale a raiz quadrada de -1, por exemplo? Não sei, mas elevada ao quadrado resulta -1. Conhecida como unidade imaginária, a raiz quadrada de -1 é representada usualmente por i e satisfaz i²=-1. A unidade imaginária foi usada para criar os números complexos, que são escritos como a+bi, sendo a e b números reais vulgares. Os números complexos generalizam os reais, na medida em que, se fizermos b=0, recuperamos os reais.

No século XIX, a generalização dos complexos era uma questão aberta, e o irlandês William R. Hamilton foi quem a conseguiu, em  1843. Os números que generalizam os complexos foram chamados quatérnios, e são representados por a+bi+cj+dk. Os quatérnios possuem três unidades imaginárias, ou seja, i²=j²=k²=-1. Em seguida à descoberta dos quatérnios, foram obtidos os octônios, que têm sete unidades imaginárias. Mas, por que as unidades imaginárias são apenas um, três ou sete, e não qualquer outro número inteiro positivo? Outros números hiper-complexos são possíveis, mas contém uma imperfeição. Esta imperfeição é: se a·b=0, pode ser que nem a nem b sejam zero. Ou seja, existem «divisores de zero». Os únicos números complexos tais que, para a·b=0 então a=0 ou b=0, são os complexos, os quatérnios e os octônios.

Existem outras diferenças entre estes números, além do número de unidades imaginárias. Para o caso dos quatérnios, as unidades imaginárias são anti-comutativas, ou seja i·j=-j·i, por exemplo. Isto significa que, se multiplicamos dois quatérnios, a ordem da multiplicação muda o resultado, ou seja p·q é diferente de q·p se p e q forem quatérnios. Os octônios, além de não-comutativos, são não-associativos, ou seja a·(b·c) não é o mesmo que (a·b)·c para a, b e c octônios.

Resumidamente, os números hiper-complexos podem ter diversas anomalias, como perda da comutatividade, associatividade e até divisores de zero. Para a física, os quatérnios são os que mostraram-se mais úteis, pelo menos até o momento. Na próxima postagem, falaremos da construção da mecânica quântica quaterniônica, o objeto do projeto de pesquisa que está colocado para financiamento coletivo no site kickante.

Quatérnios e mecânica quântica

Usarei o verbo em primeira pessoa para falar de meu próprio trabalho em física teórica. Já pretendia fazê-lo, mas as circunstâncias pesam neste momento. Pretendia fazê-lo, como venho fazendo neste blogue, como uma maneira de organizar meu próprio pensamento e ser útil a algum transeunte da internet. Porém, agora farei isto como divulgação para uma campanha de crowdfunding para minha linha de pesquisa. Como retornei recentemente ao Brasil e ainda não tenho financiamento, apelo à vaquinha virtual para seguir trabalhando enquanto a bolsa não vem.

Pois bem, já falei anteriormente das mútuas influências entre física e matemática, que são patentes na linha de pesquisa que persigo. Nestas próximas postagens, pretendo apresentar um exemplo onde a matemática influencia a física: a mecânica quântica quaterniônica. O nome denota a junção de uma teoria física, a mecânica quântica, adjetivada pela aplicação de um objeto matemático: os quatérnios.

Comecemos pela física. A mecânica quântica é uma teoria física surgida no início do século XX para explicar fenômenos sub-microscópicos. Albert Einstein, Paul Dirac, Werner Heisenberg e Richard Feynman são alguns de seus desenvolvedores mais conhecidos. O formalismo quântico explica fenômenos como a estrutura eletrônica dos átomos e o comportamento da luz. A mecânica quântica permite que estes fenômenos apresentem simultaneamente carácteres ondulatórios e corpusculares. Classicamente, nos fenômenos visíveis a olho nu, ondas e partículas parecem incompatíveis, pois a onda necessita de um meio contínuo para manifestar-se, seja ele sólido, líquido ou gasoso. Este meio é formado por partículas, moléculas ou átomos. Parece estranho que uma única partícula seja uma onda, mas a mecânica quântica consegue descrever objetos assim.

A mecânica quântica consegue fazer isto pois se vale de um objeto matemático bastante curioso: o número complexo. Este tipo de número é bastante adequado para descrever oscilações, tanto que as funções trigonométricas que descrevem as oscilações simples, os senos e cossenos, possuem expressões em termos dos números complexos. E é aí que podemos introduzir uma matematicazinha nova. Existem números complexos mais complexos que os originais, ou hiper-complexos. Se substituirmos os complexos pelos hiper-complexos, o que ocorre com a mecânica quântica? A teoria permanece útil para descrever a realidade ou torna-se uma mera abstração matemática? Esta questão eu pretendo abordar em futuras postagens, explicar um pouco desta alteração e suas consequências e também apresentar minhas próprias contribuições a este assunto.

O caso Hicheur

Hoje é provavelmente um dos últimos dias da sra. Rousseff como presidente do Brasil. Dela e de seu ministério, para o bem ou para o mal. Gostemos ou não, a destituição é realidade factual, e cabe aos intelectuais entender as causas do ocaso prematuro deste governo.

Sobre este curto e tumultuado mandato, não deveria-se esquecer o caso do físico Adlène Hicheur. Condenado na França a cinco anos de reclusão por envolvimento com terroristas, o Dr. Hicheur trabalhava como professor visitante da UFRJ após a sua libertação. Seu envolvimento resumiu-se à troca de correspondência eletrônica com supostos integrantes da organização Al-Qaeda, e foi suficiente para condená-lo. Cientistas franceses e suíços criticaram o veredicto, e inutilmente moveram uma campanha para revogar sua prisão. A revista brasileira Época descobriu o caso e, no dia 8 de janeiro de 2016, publicou-o em primeira página sob o título "Um terrorista no Brasil". É bastante evidente o apelo sensacionalista da matéria, um bom exemplo de mau jornalismo. 

Em todo caso, algumas pessoas deixaram-se influenciar pela matéria; dentre elas, o sr. Aloizio Mercadante, ministro da educação. Ele, declarou:  "Uma pessoa que teve aqueles e-mails que foram publicados e foi condenada por prática de terrorismo não nos interessa para ser professor no Brasil. Não temos nenhum interesse nesse tipo de pessoa"

Políticos não costumam dar declarações a troco de nada. O baixo nível intelectual da matéria tampouco  deve ter sido convincente ao sr. ministro. O mais provável é que o sr. Mercadante tentou ganhar alguma notoriedade com o caso. Foi um ataque covarde, após o qual o Dr. Adléne, sem qualquer chance de resposta, decidiu abandonar o país.

A sra. Maria do Rosário, ministra da secretaria de direitos humanos, ficou muda no episódio, como se o linchamento pela imprensa e pelo ministro fosse algo aceitável. Nem ela nem a sra. Rousseff, ex-presa política torturada, comoveram-se com o caso. Qual a relação do caso Hicheur com a derrocada de Dilma? Talvez nenhuma, mas exemplifica a relação dos governantes brasileiros com os supostos princípios que fundamentam sua atividade política.

Ondas gravitacionais, o anúncio

Na última quarta-feira, 11 de fevereiro, foi anunciada a detecção de ondas gravitacionas pelo projeto LIGO. Ondas gravitacionais são análogas a ondas eletromagnéticas. Quando aceleramos uma carga elétrica, ela emite uma radiação na forma de luz. Na gravitação, alguém poderia perguntar se massas aceleradas emitem alguma espécie de radiação. Einstein previu que a gravidade fraca satisfaz equações de onda, tais como as equações das radiações eletro-magnéticas. O efeito desta radiação é a oscilação da distância entre os pontos do espaço. A dificuldade em observar estas ondas é a sua baixíssima intensidade, o que dificulta muito a sua detecção. Como são tênues, é preciso  eliminar outros fenômenos que influam na medida. É como a luz de uma cidade que atrapalha a observação de estrelas muito distantes ou pouco brilhantes. Para ondas gravitacionais, é preciso eliminar quaisquer oscilações do solo, daí a escolha de um deserto remoto para construir o laboratório. Além disso os detectores estão dotados de um sofisticado mecanismo para eliminar vibrações ctônicas.

A idéia do experimento é simples: mede-se uma distância de 4km com a ajuda de raio laser. A variação nesta distância foi atribuída a uma uma onda gravitacional gerada pelo choque de dois buracos negros, ocorrida num tempo e posição distantes. A sensibilidade do aparelho que mede a distância é extrema. A diferença na distância medida é da ordem de um décimo do raio de um próton, ou seja 0,09 fm. Lembrando que o femtômetro vale 10^(-12)m, ou um trilhonésimo do metro, a alteração detectada é equivalente a medir a distância da terra ao sol (150 milhões de quilômetros) com a precisão de um décimo do raio de um fio de cabelo ( cerca de 5 centésimos de milímetro). A detecção em si não resolve nenhuma questão fundamental, mas é um grande avanço da instrumentação experimental. Espera-se que ondas gravitacionais de diferentes amplitudes e comprimentos de onda possam ser observadas no futuro. Algumas ondas específicas poderiam resolver problemas cosmológicos, e dar informações sobre a formação do universo. Não deixa de ser incrível que nenhum efeito quântico seja observado numa distância tão pequena, e que o fenômeno permaneça interpretado classicamente.

Um outro detalhe do anúncio foi o seu uso político. Alternando discursos ao vivo, depoimentos gravados e vídeos da simulação do choque de buracos negros, víamos no atrás da tribuna a bandeira americana. A divulgação de um resultado científico se transformou num evento de afirmação nacional no período pré-eleitoral americano. Talvez a oscilação gravitacional tenha efeitos inusitados. A natureza é sempre surpreendente.

Voorwald pega o boné

A demissão do prof. Herman Voorwald da Secretaria Estadual da Educação de São Paulo é assemelhada à do prof. Renato Janine Ribeiro do Ministério da Educação, comentada neste blogue em 6 de outubro de 2015. Ao contrário de Janine, que durou alguns meses, Voorwald permaneceu cinco anos na pasta. Foi uma passagem menos humilhante, mas igualmente patética. Forçado a defender um plano de reorganização sem fundamentação e criticado por pesquisadores e educadores, Voorwald foi ainda apartado das negociações políticas quando a situação política agravou-se. Em virtude das ocupações de escolas, o governador Alckmin não deixou um assunto sensível às suas pretensões políticas nas mãos de um amador como Voorwald, que ocupava a pasta apenas para envernizar a gestão da educação peessedebista em São Paulo. Entregou o assunto ao secretário da casa civil Edson Aparecido, um profissional do ramo. Com o recuo do governo com o plano, o professor Herman ficou como responsável único pelo projeto abandonado, e não restou outra alternativa que a demissão. Mais um episódio lamentável na história da atuação política da academia brasileira.

Após sua fracassada passagem pela pasta da instrução pública em São Paulo, o ex-secretário retorna à sua cátedra na escola de engenharia da Unesp de Guaratinguetá, onde poderá aumentar a partidarização política crescente que corrói o ambiente acadêmico brasileiro. Talvez ele passe à iniciativa privada, onde o conhecimento político é bastante valorizado. Em todo caso, justiça seja feita, não se pode negar o efeito benéfico da gestão pública na atividade científica do professor Herman. Segundo seu Currículo Lattes, foi autor de trinta trabalhos nos cinco últimos anos, sendo que publicou 71 durante os vinte e oito anos precedentes. Um expressivo aumento de produtividade. Não se trata, porém, de fato isolado. O ex-ministro da C&T, Sérgio Rezende, também teve um ótimo desmpenho cientométrico durante sua gestão. Nada como um pouco de arejamento intelectual.

Metafísica e ciência

Em «A crítica da razão pura», Immanuel Kant discute a existência de uma realidade inacessível aos sentidos. Segundo Kant, este mundo imaterial é regido por uma «razão pura». Para os filósofos do ceticismo, como David Hume, se esta «razão pura» existir, não influencia as ciências, que dependem da realidade material para validar suas afirmações. Sob o ponto de vista cético, a discussão termina aqui.


Contudo, é possível insistir nas idéias kantianas se  a influência da linguagem sobre a ciência é posta em causa. No prefácio de "Methods of modern mathematical physics", M. Reed e B. Simon discutem brevemente as interações entre físico-matemáticas. Afirmam que a influência da física sobre a matemática é clara, mas a influência da matemática sobre a física é mal compreendida. A física gera problemas que podem despertar o interesse puramente matemático, e esta é a sua influência. Por outro lado, muitos físicos consideram a matemática a linguagem para a expressão da física. Se a matemática é uma linguagem, ela não deveria influenciar no objeto que descreve. Sendo assim, qual a origem da dúvida de Reed e Simon?

Se a matemática não é uma linguagem dentre outras possíveis, então pode não haver outro meio para descrever a natureza. Ou seja, todo fenômeno físico deve necessariamente ter pelo menos uma abstração matemática que o modele. Ao físico teórico caberia relacionar as abstrações matemáticas aos fenômenos físicos. O mundo real seria assim aproximadamente igual a uma fração deste mundo abstrato. Não se pode então dizer que a matemática seja apenas uma linguagem, é possível que, a partir de abstrações, fenômenos físicos sejam procurados. É como criar palavras e depois verificar se existe algo corresponda ao seu significado. Grande parte da física teórica é atualmente feita assim.


Voltando a Kant, os objetos matemáticos, tais como os da «razão pura», seriam artificiais e sem correspondentes na realidade, de maneira que a matemática não pode servir de modelo para outros assuntos. A crítica de Kant envolve o uso da formatação matemática para a filosofia, mas podemos estendê-la à física. Kant não critica utilizar estas abstrações fora da matemática, mas sim descrever o mundo como fazem os matemáticos. Para complicar, a linguagem matemática seria inadequada à filosofia, e talvez seja à física. Ou seja, podemos usar matemática, mas não imitar os matemáticos com cientistas.

Respondendo Reed e Simon,  a matemática influencia a física na medida em que seus objetos são indispensáveis para formular teorias. Se um fenômeno não consegue ser explicado, possivelmente a o meio matemático adequado  não foi encontrado. A física é então dependente em grande parte tanto do progresso da matemática como da sua introdução na física.

Água: mineral ou prejudicial?

Antigamente, todos bebiam a água das estações de tratamento. De uns dez anos para agora, um número crescente de pessoas apenas bebe água mineral engarrafada, sobretudo por conta da propaganda. Esta doutrinação convenceu as pessoas de que a água da torneira é prejudicial à saúde. Já vi muitos argumentos pró e contra esta prática, e discutamos alguns.

1. A água tratada é boa ao sair da estação de tratamento, já a que chega na torneira não tem esta garantia. Este argumento é válido apenas se o encanamento ou a caixa d'água domésticos estiverem em mau estado. Ao chegar ao cavalete das casas, a água é confiável, e não apenas na saída da estação. A razão é a pressurização da rede. Existem inúmeros vazamentos na rede, onde a água tratada é perdida, mas não há entrada da água do solo na rede. Se a pressão for insuficiente, haverá entrada de água do solo para a rede. Ou seja, contaminação. Esta situação não tem como ocorrer, pois caso contrário a água nem chegaria às casas. Logo, o argumento é falso.

2. A água tratada contém metais pesados. Suponhamos que isto seja verdade. Evitar a água de torneira tem algum efeito? Terminantemente, não. Tudo o que comemos ou bebemos é feito a partir de água, e não necessariamente de água mineral. Se alguém cozinha arroz na água da rede, todo o conteúdo de metais da água ficará no arroz. Neste caso, pode-se utilizar água mineral para cozinhar. Em todo caso, nem tudo resolve-se assim. O gado bovino não bebe água mineral, e todo o conteúdo de metais fica retido no corpo do animal. Assim, na carne do animal está todo o metal pesado que ele ingeriu através da água desde a sua vida intra-uterina. Há estimativas da necessidade de 70 litros de água para um bife de trezentos gramas. Ou seja, se se a pessoa comer em média um bife por dia, considerando que a pessoa tome um litro de água por dia, em cinco dias a pessoa já ingere o equivalente em metais para um ano de água. Isto sem considerar outras fontes. Nem os vegetarianos estão a salvo, pois os vegetais também acumulam os tais metais pesados, assim como o leite e os ovos. Ou seja, é se a água é contaminada com metais pesados, a menor fonte de ingestão é a água pura, as demais fontes têm  um peso maior. Ou seja, o argumento é falso.

Além destas crenças, a água engarrafada tem outro problema: a embalagem. O primeiro problema é o lixo gerado. São milhões garrafas PET descartadas no ambiente, que contaminarão inclusive a água que será tratada. Além disso, não há como garantir que o plástico não libere substâncias de sua formulação na água. Estas garrafas são seguras em determinadas condições, sobretudo de temperatura. Se ficam no sol em ambientes quentes, como dentro dos caminhões de entrega ou armazéns, existe a possibilidade da liberação de, por exemplo, ácido ftálico. Ou seja, não há nenhum motivo racional para beber a água mineral. A propaganda bem sabe disto, e evoca a emoção, e nunca a razão, para suas campanhas. Um destes argumentos é o status, sobretudo para quem bebe uma água cara. Enfim, um exemplo da ignorância da nossa sociedade do pseudo-conhecimento, em que um discurso científico distorcido é usado para atender interesses estranhos à ciência.